以數學做逆向工程：以TAMIYA TA01/02馬達座為例

如果N百年前沒DIY馬達座就沒事了

http://tw.myblog.yahoo.com/looka330/article?mid=32&prev=58&l=f&fid=8

誰知一搞結識spiderack...

spiderack 在鋼琴界...至少台灣鋼琴界頗負盛名，從幾間研究所邀他就讀不收學費就知道他有多屌

可惜...他很任性，三不五時會催說很久沒收到亮晶晶的改裝品了...

這回要我再戰馬達座，那個回應真是..."G8高峰會" =.=

http://tw.myblog.yahoo.com/looka330/article?mid=36437&prev=-2&next=36398&page=1&sc=1#yartcmt

雖然spiderack待過專業木工廠(專門加工比鋼還硬的木頭、就是丟到水裡會沉下去那種)

要他DIY什麼都行，不過為了保護國家鋼琴手，我也只好硬著頭皮上工了...

會的工具越進步，越懷疑從前怎有辦法做出來？過去作品雖醜，該準的倒也蠻準(至少就馬達座來說...)

改用CNC製作，難處在於"座標"，過去是將塑膠件固定在金屬板上，照著鑚孔當鑚模，日後要多做才方便

PS：結果鑚模就只用那麼一次=.=

這回以CNC製作，座標怎個難法？

大家都知道兩個齒輪要順暢運轉，兩齒輪的節圓必須相切。

以下圖為例：位置1與位置2都沒錯，兩者節圓都相切、都能順暢運作

問題是哪個孔才是tamiya選定的？或甚至這兩個都不是？

如果選擇與tamiya不同，即使能運作，但與塑膠件兩相比較，會被誤以為是失敗品！

這就得抽絲剝繭了，我先量出大直齒與馬達做的相對關係，也就是線A與線B的交角、再加上簡單量測

線A上的兩個圓柱位置就定出來了(下圖以圓形表示)

再來，我發現17T的孔位(孔1、孔2)連線與作記號用的底邊互相垂直

於是下圖C、與D的數據便能量出，而這兩孔連線的中點，與大直齒的中心連線等於17T+74T的節圓半徑

PS：孔2與底邊的距離用卡尺量出、再與以孔1的位置反推出孔2的資訊互相驗算。

所有資訊都必須有量測值與計算出來的值，如此才能交互驗算

其他孔該怎麼算？其他孔與底邊的相對關係並不好量，所以都用算的...

如下圖：孔3與孔1的中心可以簡單量到，但是還有x與y兩個未知數(角度未知)、而孔4在25mm外的另一邊

一樣再配合馬達齒與大直齒的距離資訊，以及上述各種資料，可以寫出幾個聯立方程式

方程式寫出來，x與y就能找到啦

同理，所有14個孔+兩根柱子的資訊便迎刃而解


先拿一張5052廢料試鑚孔，當然我相機不可能對焦在每個孔位正上方，只能對焦在整個馬達座的中心

如能從每個孔的正上方看下去，孔位完全吻合！在每個孔放進3mm標準棒都能順暢通過，絲毫沒一點勉強


那麼，開工吧！

材料是經過T6熱處理的7075鋁合金


成品當然是一體成形，連作記號用的三角形都有


當然啦，如果您有3D投影儀就不用這麼麻煩

只要一投影就能輸出3D圖、再以電腦生成刀具路徑就能直接開工了

不過3D投影儀比很多CNC加工機還貴哩~

買得起前，只好用算的...


只要是因果系統，找到初始值便能一生二、二生三、三生萬物啦！<=我大學的計算機概論老師常說的

直接用Gcode編寫刀具路徑

※ CNC：Computer Numerical Control (電腦數值控制)

※G-code則是一種語言，就好像是我們說國語、老美說美語、德佬說德語

你跟機器透過電腦溝通就得說機器語，這邊這種語言叫做G-code，只是一種語言，倒也沒什麼特別

就好像國語、英語說得流利雖然很厲害，但言之有物更可貴！


曾經發過幾篇刀具路徑的文章，卻沒提過整個流程

先用電腦繪製3D圖形，再以軟體輸出刀具路徑又是另一種作法，這邊就不提了，因為我不會，哇哈哈~

首先：提筆畫圖...

下面這張畫的是漫畫，我只是拿來充數


設計好需要的零件...

當然下面這張也不對，因為角度畫錯了...


G-code的指令上百條，其實我只用了幾個：

G00：直線快速進給到??座標、

G01：依指定速度直線進給到??座標、

G02/G03：依順、逆時針畫圓、畫弧、

G17-G19：切換平面、

G83/G80：深孔啄鑚

再來就是根據選用的刀具半徑、標示其空間座標

還記得小時候老姊上學都要跟我賽跑，每次都是一直跑，跑到下個紅綠燈為止(第一道指令)

然後看交通號誌、觀測左右來車，走到對面再重新開始(第二道指令)...

標示座標就標在那些路口處，讓刀子從這個路口跑到下一個路口、過馬路又是另一道指令...

我這邊選用8mm刀，半徑4mm，於是我將工件外形往外退4mm

這就好像是我們家外面，與大馬路總是隔著水溝、花圃、騎樓...什麼的

家的輪廓就是我要的零件形狀，那些個環繞在外面的什麼，就是刀具路徑

我們總不希望水溝流進家裡面吧？所以刀具半竟有多寬，其座標就該退開工件外形多少


為什麼不用G41、G42補正指令？(只要標示工件外形、再輸入刀具半徑，電腦會自動根據工件往左、往右退開)

這指令雖然好用，不過還蠻常出包，以下為其中兩例：

階梯高度少於刀具半徑，工件會少掉一角：

狹縫底部寬度少於刀具直徑，依然會被錯挖：


出包的實例我也提過：

http://tw.myblog.yahoo.com/looka330/article?mid=36068&prev=36221&next=35952&l=f&fid=8

所以，座標該怎麼標示？(國小、國中幾何)

http://tw.myblog.yahoo.com/looka330/article?mid=34422&prev=34534&l=f&fid=8

轉彎處即使不是R角(圓弧)，路徑竟然要走圓弧？(中學最短路徑問題)

http://tw.myblog.yahoo.com/looka330/article?mid=33306&prev=33561&next=32912&l=f&fid=8

不規則形的工件上，根據某斜邊給定一點，這點關於整個座標系又落在哪裡？(大一線性代數座標轉換)

http://tw.myblog.yahoo.com/looka330/article?mid=34534&prev=34789&next=34422&l=f&fid=8

大概有過半數的時間，都只用到國中的三角函數，看下圖就知道有多基本了...


與幾何證明(主要證明哪個角等於幾倍的另一角)


如果是相當複雜的外形，反正我們知道機器的最小刻度是多少(最小步伐)，例如說0.01mm或什麼的

那麼我們可以用離散傅立葉轉換，求出每個地方的座標，再以直線啦、圓弧啦...什麼的連起來

唉呀！反正就是求出各點座標再連連看啦...

用的數學工具越多，做出來的東西越準確

像我上面提到的轉彎怎麼轉、斜邊怎麼走...，退開一個刀具半徑後，形狀都與原工件不同了

業界的作法、或是電腦自動生成刀具路徑，多半要你換比較小的刀子

雖然退開刀具半徑，但還是照著工件輪廓走

看過前文就知道：這樣還是有不該削的被削去、該挖的沒挖到，反正只是讓誤差變小一點而已

但扣除震刀、機台剛性...等先天因素，能把誤差消滅為什麼不消滅？先天因素就已經有不少誤差咧！

下面是刀具路徑輸出的圖


阿下圖是成品


有溝有槽、有孔有曲線...


7075 T6整塊切削，但因適當的偷輕，比用5052折出來的還輕


該怎麼偷輕最好？該保留哪些加強肋才能讓零件最堅固？甚至哪些斷面形狀能提升整體剛性？

這又屬於應用力學的範疇了，不過回歸基本仍是物理與數學

我還是想說：中學前的基礎教育不光只是拿來考試的...

當年高中聯考，台中市的學校沒一家能上，如果當初好好念就好了...

歪著頭看也不靈光...軟體生成的錯誤刀具路徑

之前常提到：現在只要畫好3D圖，某些軟體便能生成加工的刀具路徑

不過咧，路徑不見得都對

舉例來說，我想做下面這樣的形狀

最終出現的工件外形卻如下圖，與上圖的差異就是紅色所繪之處

為什麼刀具會走這樣的路徑？

因刀具被指定走到轉角座標、但往上揚的部份(紅線右邊)卻又具有一定寬度

看起來便像是先走過頭(轉角座標)，再轉個詭異的彎

通常直接用G-code的補償指令，遇到會干涉的轉角也會這麼走


直接看下圖吧！

這是以SolidWorks畫出來，再以master-cam生成刀具路徑，不修改路徑直接輸出的物外形


換個角度看就明顯了


還好此工件不與其他零件做公母配合，否則紅圈處會是一大隱憂


前面曾經提過線性代數的"座標轉換"

http://tw.myblog.yahoo.com/looka330/article?mid=34534&prev=34789&next=34422&l=f&fid=8

如果我們以轉角處為新原點，將整個空間座標旋轉會如何？

放大轉角處，結果會如下圖：右側往上揚的地方不凸出了，但轉角左側卻陷下一個窟窿...

座標旋轉的當下，刀具路徑當然跟著旋轉，於是乎...

轉角會變成下圖的形狀：

把左側斜向下(斜率為負)的部份擺平，看起來會容易些...

這意味著刀具可以向左退、但不能向下陷

你可以在座標轉換的矩陣裡面加限制條件、或用國中數學的幾何證明來解

下圖紅色大圓代表端銑刀截面，黑線是工件的外形、亦是銑刀圓周上兩點的切線

銑刀半徑、藍線、兩切線圍成兩全等三角形

PS：SSA全等條件僅適用於銳角、直角三角形

於是兩個全等三角形在圓心那端的夾角皆等於 A/2

最後，銑刀圓心的Y軸座標限制不動，X軸座標後退量=銑刀半徑Xsin(A/2)

另一篇文章曾提到怎麼轉彎：

http://tw.myblog.yahoo.com/looka330/article?mid=34422&prev=34468&next=34390

上次針對工件外形，若用在模具，就是公模

若是母模呢？

如下圖所示，若在y點直接轉彎，那麼出彎口會變小

PS：極端的例子是轉直角，出彎寬度等於零

圖裡有個三角形，主要方便識別：直角三角形的斜邊為最大邊，出彎處的確變窄了！

事實上應該以X點為圓心，掃過一圓弧，示意圖如下

游標卡尺裡夾的是tamiya FF-01轉向零件，卡尺所夾之處寬度為7.01mm


到了斜邊，變成只有6.85mm，少了0.16mm，足足有16顆細胞那麼多...

PS：細胞大小可不全都等於0.01mm，極端的例子是鴕鳥蛋，一顆蛋就是一個細胞...


好啦，按照這些法則，G-code一條一條撰寫完，刀具路徑如下


當然，這兩張圖有誤，code少寫好多，不過最終版又忘記輸出...


第一面銑削


不知道別人怎麼去底邊，我都先鋸大概，然後再做基準面


翻面加工，上下曲線依然重合！


其實這要翻兩次面，也就是加工三次


黑色是塑膠原件


除了大圓柱、轉角處，其餘寬度皆為7.00mm


上下軸承均為緊配，依然保持同心...


FF-01金屬轉向與一二樓板固定座


好像...蠻閃


懂了這些小訣竅，配合3D繪圖與刀具生成軟體，零件完成度會更高哦！

歪著看就簡單多了~座標轉換與刀具路徑

續上篇文章

http://tw.myblog.yahoo.com/looka330/article?mid=34422&prev=34468&next=34390

在提到刀具從1.走到2.時，我用了平面上兩點求中點的方法

偷懶終究還是被kchou大抓包了，就是有一回抓到我跟人討論牛頓第三定律出包的那一位

一次出包、一次偷懶都被抓，馬虎不得咧

不過我還蠻佩服kchou，每次都不直接說哪裡有誤，而是換個方式再問我一次

然後就會猛然驚覺：哎喲喂呀~

這個圖中，上下兩個斜線的斜率並不同

畫個延長線會更清楚

因為位置2.上，刀具圓心與工件上的圓點連線，必須垂直於下面的斜線

所以與位置1.的圓心，三點不共直線

角度資訊、斜率、刀具半徑啥都有，要算很容易，當時偷懶是因為刀具半徑只有1mm

X、Y的座標誤差只有0.0x mm，這部分又是工件的外形，不需要跟別的工件配合...

so...用國小數學近似過去，這邊提供給需要的人做參考，以下才是這次的正題

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這次的工件如下圖，右上方、右下方各有五個小黑點，小黑點互相間的X、Y軸距離都是"7mm"

只是右下方是斜著擺，當你不是用solidworks這種方便軟體時，怎麼"精確"標出右下角那五點的座標咧？

畫出來用量的？不準吧！

用三角函數一個一個算？太慢吧！

這次我提供一個座標轉換的方法：座標旋轉

首先，我們有什麼資訊？

a.的長度是15、b.是48，所夾的角tan^-1(-15/48)，大約等於17.35^。

既然斜邊長是已知的，我們不妨把下面斜斜的腳，以(21,-60)為圓心，往逆時針旋轉17.35度

讓上下兩隻腳都對齊座標軸，這樣的座標應該就很好標了！

為了方便閱讀，我把它標示在左下角

然後把這些(128,-64)、(135,-71)、(128,-78)、(121,-71)都減去剛才的旋轉圓心(21,-60)

等於(107,-4)、(114,-11)、(107,-18)、(100,-11)

然後把上述座標帶入下面的旋轉矩陣的(u,v)值


出來的(x,y)再一一加回(21,-60)，就成了

(121.93,-95.73)、(126.52,-104.5)、(117.75,-109.09)、(113.16,-100.32)

這樣要手繪再量？應該精準不到小數以下第二位...

要用邊角關係、以及斜腳寬度22的資訊一一去算？也太慢...

只要用座標轉換的旋轉、加減、縮放，可以在很短的時間內標出精確尺寸哦

以下是輸出，斜斜腳上的五個孔，上下、左右兩兩連線真的是互相垂直、又相交於中間的大孔！